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彩票数学知识（五） 组合（一）
组合的性质：让我们先看一下下面的例子：
例：北京--天津--上海三个民航站的直达航线，一共有几种不同的飞机票价？ 解：因为北京--上海，上海--南京，南京--北京三条航线的距离各不相同，所以有3种不同的飞机票价。
这个问题与需要准备几种不同的飞机票是不同的。飞机票的总数，与两个城市的先后顺序有关，这是一个排列问题；而票价只与两个城市的距离有关，与两个城市的先后顺序无关，因此可以看作是从三个不同的元素中任选两个，不管怎样的顺序并成一组，求一共有多少个不同的组，这就是我们要研究的组合问题。
定义：一般地说，从n个不同元素里，每次取出m (1<=m<=n)个元素, 不管怎样的顺序并成一组，叫做从n个元素里每次取出m个元素的组合。 例如：从3个元素a,b,c里每次取出2个元素的组合，就是指下列三种组合ab,ac,bc。
由组合的定义可以知道，如果两种组合里所含的元素完全一样，只是排列的顺序不同，如ab和ba，那么它们仍是相同的组合。 由此可知，组合和排列是不同的。排列和元素排列的顺序有关，但是组合和这种顺序没有关系。
习题： 1，从2，3，5，7，11，13这六个数中，每次取出3个数相乘。问可以得到多少个不同的积？ 2，一分，二分，五分硬币各一枚，一共可以组成多少种不同的币值？
由于组合数的计算公式的推导过程比排列要麻烦，所以我们这里略去复杂的推导过程，直接给出组合数的计算公式。
定义：从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C(m,n)表示。
C(m,n)=n*(n-1)*...*(n-m+1) / (1*2*...*m) 当m=n时，C(m,n)=1。
让我们来看下面这个例题： 例：有七个人进行乒乓球比赛，采用单循环制，即每两人之间要进行一场比赛。问共要进行多少场比赛？ 解：这个问题等同于从7个不同的元素中选取2个元素的所有组合个数。 所以比赛场数等于C(2,7)=7*...*(7-2+1)/(1*2)=7*6/2=21
组合的推广：
定义1:若r1+r2+......+rk=n，把n个不同的元素分成k个部分，第一部分r1个，第二部分r2个，......，第k部分rk个，则不同的分法有： n! / (r1!*r2!*......*rk!) 种，这里n!叫做n的阶层，它的值为n！= 1*2*......*n ；
定义2:若n个元素中有n1个具有特性“1”， n2个具有特性“2”，......，nk个具有特性“k”，且n1＋n2＋......＋nk＝ n，从这n个元素中取出r个，使得具有特性“I”的元素有ri个(1<=I<=k)，而r1＋r2＋......＋rk＝r ，这时不同的取法的总数为： C(r1，n1)*C(r2，n2)*......*C(rk，nk) ，这里要求ri <= ni 。
例：有10个砝码，其重量分别为1克，2克，......，10克，从中取出三个；要求取出的三个砝码，一个小于5克，一个等于5克，一个大于5克。问共有多少种不同的取法？ 解：由上述的定义2，我们认为1克－4克的砝码具有特性“1”，5克的砝码具有特性“2”，6克－10克的砝码具有特性“3”。从这10个砝码中取出三个，具有特性“1”、特性“2” 、特性“3”的各取一个，则不同取法总数为： C(1，4)*C(1，1)*......*C(1，5)＝4*1*5＝20 (种)
排列与组合复合计算：
在了解了排列和组合的基本性质以后，我们可以来计算一些比较复杂的排列，组合的计算题，求解时，必须先确定是排列还是组合问题，然后根据题意列出计算式，求得解答。
例1：课外研究小组共有13个人，其中男同学8人，女同学5人。从这13人里选出3个人准备报告，在选出的3人中至少要有1个女同学。问一共有多少种选法？ 解：“至少有有1个女同学”，就是说选出的3个人中，可以有1个女同学，2个女同学，也可以有3个女同学。根据乘法原则： 有1个女同学的选法有C（1,5）*C（2,8） 种； 有2个女同学的选法有C（2,5）*C（1,8） 种； 有1个女同学的选法有C（3,5） 种。 根据加法原则，至少有1个女同学的选法的种数为 C（1,5）*C（2,8）+C（2,5）*C（1,8）+C（3,5）=5*28+10*8+10=230
例2：用0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成无重复的四位数中，比1200大的共有多少个？ 解：比1200大的四位数，是以下各数组成： 1，千位数字为2，3，4，5，6；这样的四位数有 C（1,5）*P（3,6） 种。 2，千位数字为1，而百位数字为2，3，4，5，6；这样的四位数有 C（1,5）*P（2,5） 种。 根据加法原则，得到 C（1,5）*P（3,6）+C（1,5）*P（2,5）=600+100=700。
对于有些比较复杂的排列组合问题，直接利用乘法原则比较困难，可根据已知条件分为若干类，然后利用加法原则，可求得它们的解。
例如，对生产的一批乒乓球进行质量抽查，结果如下表所示:
抽取球数 n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1902 m/n 0.90 0.92 0.97 0.94 0.95 0.95 |
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